고대 그리스의 수학적 혁명, 히파수스의 무리수 증명

피타고라스 학파의 교리를 깬 히파수스 추방당하다

고대 그리스 수학자 피타고라스(기원전 6세기경)는 우주 만물이 정수(1, 2, 3, …)의 비율로 이루어져 있다고 믿었습니다. 즉, 모든 길이나 비례 관계는 유리수(a/b 꼴로 표현 가능한 수)로 해석될 수 있다고 여겼습니다. 피타고라스 학파는 학문적 내용을 외부에 공개하지 않는 ‘비밀 결사’ 성격을 지녔으며, 내부 질서와 가르침을 매우 엄격하게 지켰습니다. 어느 날 히파수스(Hippasus)는 정사각형 대각선 문제에서 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이는 √2 임을 알아냅니다. 

당시 피타고라스 학파에게는 세상의 모든 길이는 유리수 비율로 표현된다는 절대적 믿음이 있었습니다. 히파수스는 바로 이 대각선 길이를 분석함으로써, √2 가 유리수가 될 수 없음을 논리적으로 증명했다고 전해집니다. 이는 “정수(유리수)만으로 모든 것을 설명할 수 있다”라는 학파의 주장을 뒤엎는 혁명적 사실이었습니다. 전하는 이야기에 따르면, 히파수스는 자신이 발견한 ‘무리수의 존재’를 학파 바깥에 공개했습니다. 이것이 학파의 핵심 교리인 모든 수는 유리수로 표현 가능하다에 정면으로 배치되는 내용이었으므로, 히파수스는 학파로부터 추방당하거나 심한 징벌을 받았다는 설이 있습니다.

고대 그리스 수학자 히파수스

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히파수스의 무리수 증명 방법은?

피타고라스 학파는 대수적 표현보다 기하학적 도형과 길이 개념을 바탕으로 논리를 전개하는 데 익숙했습니다. 실제로 히파수스가 정사각형의 한 변과 대각선의 길이 비율이 유리수가 될 수 없음을 기하적으로 보였을 가능성이 큽니다.

1. 변 길이가 1인 정사각형(대각선 길이 √2 )이 있다고 가정합니다.
   
   
2. 그 대각선이 p/q 비율로 표현 가능하다면, 즉 유리수로 작은 정사각형들을 반복해서 “완벽한 비율”을 유지하면서 계속 그릴 수 있어야 합니다.
   
   
3. 실제로는 일정 단계에서, 더 이상 같은 비율을 유지하는 정사각형을 만들 수 없거나, 계속 줄여나가는 과정에서 “무한히 줄어들면서 동시에 정수 배 비율이라면 모순이 생깁니다.

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대수적 귀류법 증명

아래는 √2  가 유리수가 아님을 보이는 대수적 귀류법 증명입니다.

┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 1) 가정                                          
│    √2 = p/q   (단, p와 q는 서로소 정수, gcd(p,q) = 1)             
└─────────────────────────────────────────────────────┘
                ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 2) 양변 제곱                                      
│    2 = (p/q)²  ⇒  2q² = p²                                      
└─────────────────────────────────────────────────────┘
                ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 3) p가 짝수임                                        
│    p²가 2로 나누어떨어지므로 p도 짝수, p = 2k                  
│    2q² = (2k)² = 4k²  ⇒  q² = 2k²  ⇒  q도 짝수                 
└─────────────────────────────────────────────────────┘
                ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 4) 모순                                        
│    p와 q가 모두 짝수 → 공통 약수 2 존재                         
│    그러나 가정에서는 gcd(p, q) = 1                              
└─────────────────────────────────────────────────────┘
                ↓
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│ 5) 결론 (Conclusion)                                            
│    가정이 잘못되었으므로 √2는 유리수가 아니라 '무리수'         
└─────────────────────────────────────────────────────┘

 

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